扇形面积图解贝叶斯公式

B₁

B₂

B₃

事件 A

P(B₁)

30%

P(B₂)

40%

P(B₃)

30%

📐 条件概率

P(A|B₁) =

P(A ∩ B₁)

P(B₁)

在B₁发生的条件下，A发生的概率等于：A与B₁的交集面积 ÷ B₁的扇形面积

🔄 全概率公式

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + P(B₃)P(A|B₃)

事件A的总概率等于A与各划分区域交集面积之和（占样本空间的比例）

🎯 贝叶斯公式

P(B₁|A) =

P(B₁)P(A|B₁)

P(A)

⚙️ 调整参数

P(B₁) - 第一扇形比例 30%

P(B₂) - 第二扇形比例 40%

P(A|B₁) - 在B₁中A的比例 60%

P(A|B₂) - 在B₂中A的比例 40%

P(A|B₃) - 在B₃中A的比例 50%

P(B₁|A) - 观察到A后B₁的概率
35.3%

P(A∩B₁)

18%

P(A∩B₂)

16%

P(A∩B₃)

15%

P(A) 总计

49%

💡 图解原理说明

大圆代表样本空间S，被划分为三个互斥的扇形区域B₁、B₂、B₃，它们的面积比例对应各自的概率。

金色圆形区域代表事件A，它与各扇形的重叠部分表示A与Bᵢ的交集。

P(A|B₁) = (A∩B₁的面积) / (B₁扇形的面积)，即在B₁范围内A所占的比例。

观察到A发生后，更新对B₁的概率估计：P(B₁|A) = P(A∩B₁) / P(A)。