一、实验目的
- 理解类别数据（分类数据）的概念及其在统计推断中的处理方式；
- 掌握卡方（χ²）检验的基本思想、统计量构造与适用条件；
- 掌握两类基本问题：拟合优度检验与独立性检验；
- 学会利用 χ² 分布计算 P 值，并与临界值法比较作出统计决策；
- 通过重复模拟，直观理解第一类错误（α）与检验功效（1−β）。
二、类别数据与卡方检验的基本思想
类别数据是对研究对象按某种属性或类别进行分类后计数得到的数据，如性别（男/女）、血型（A/B/AB/O）、骰子点数（1–6）等。其取值只反映"属于哪一类"，无法进行加减运算，因此对类别数据做统计推断需借助频数（计数），最常用的方法便是卡方检验。
基本思想：若某项假设 H₀ 成立，则各组的期望频数 E 可预先算出；将观测频数 O 与期望频数 E 比较，若两者整体差异过大，则怀疑 H₀ 不成立。
其中 Oi 为第 i 类的观测频数，Ei 为第 i 类的期望频数。χ² 统计量近似服从自由度为 df 的卡方分布。O 与 E 越接近，χ² 越小，越支持 H₀；χ² 越大，越倾向拒绝 H₀。
三、两类经典问题
3.1 拟合优度检验（Goodness-of-Fit）
检验一组类别观测频数是否符合某种理论分布或指定比例（如硬币是否均匀、骰子是否公正、孟德尔分离比 9:3:3:1）。
- H₀：总体分布与理论比例一致；H₁：不一致。
- 期望频数 Ei = n × pi（n 为样本总量，pi 为理论比例）。
- 自由度 df = k − 1 − m（k 为类别数，m 为需要由样本估计的参数个数；本实验无参数估计时 df = k − 1）。
3.2 独立性检验（Test of Independence）
对 r × c 列联表，检验两个分类变量是否相互独立（如"性别"与"学科偏好"、治疗方式与疗效）。
- H₀：两变量独立；H₁：两变量不独立（相关）。
- 期望频数 Eij = (行合计i × 列合计j) / n。
- 自由度 df = (r − 1)(c − 1)。
四、假设检验的步骤
- 提出原假设 H₀ 与备择假设 H₁；
- 确定显著性水平 α（常用 0.05）；
- 计算 χ² 统计量与自由度 df；
- 由 χ² 分布计算 P 值，或查临界值 χ²α(df)；
- 决策：若 P < α（或 χ² > χ²α），落在拒绝域 → 拒绝 H₀；否则不拒绝 H₀；
- 下结论：结合问题背景给出实际意义的解释。
五、使用条件与注意事项
- 各组的期望频数 E ≥ 5。若有 20% 以上的格子 E < 5 或任一格子 E < 1，应合并相邻类别、增加样本量或改用精确检验；
- 观测频数必须是计数，不能用比率或百分比直接代入；
- 2×2 表四格总例数较少时，可采用 Yates 连续性校正：χ² = Σ (|O−E| − 0.5)² / E；
- 样本应随机独立抽取，每个个体只能归入一类；
- 检验只能说明"类别间有无关系"，不能说明关系的强度与方向（后者需结合效应量，如 Cramér's V）。
六、实验内容
- 仿真实验：用计算机随机模拟"掷硬币 / 掷骰子"数据，在已知真实情况的前提下，观察 χ² 检验结论与真实情况的符合程度；通过重复模拟估算检验功效与第一类错误率。
- 数据检验：输入实测数据，分别完成拟合优度检验与独立性检验，获得完整统计推断过程。
- 实验报告：汇总全部实验记录，自动生成可打印的规范实验报告。
仿真实验一：硬币 / 骰子均匀性检验
计算机按"真实概率"随机生成观测数据，检验其是否与"理论均匀分布"一致。请观察：当真实概率偏离理论值时，样本量如何影响能否检测出偏差。
仿真实验二：重复模拟 → 检验功效 / 第一类错误
按当前参数重复模拟 200 次独立检验，统计"拒绝 H₀"的比例：若真实 H₀ 为真，该比例应接近 α（即第一类错误率）；若 H₀ 为假，该比例即检验功效的估计值（越大越好）。
检验一：拟合优度检验（Goodness-of-Fit）
输入 k 个类别的观测频数与理论比例（比例之和应为 1）。以孟德尔豌豆分离实验（9:3:3:1）为示例。
| 类别 | 观测频数 O | 理论比例 p | 期望频数 E |
|---|
检验二：独立性检验（列联表，Test of Independence）
输入 r×c 列联表频数，检验行变量与列变量是否独立。以"性别 × 学科偏好"为示例。
实验记录汇总
所有仿真与检验记录自动汇总如下，可据此完成实验报告。
| # | 时间 | 实验类型 | 关键参数 | χ² | df | P 值 | α | 结论 |
|---|
实验报告
一、实验目的
掌握类别数据分析中卡方检验的原理与应用：通过拟合优度检验与独立性检验解决类别数据的推断问题，并通过随机模拟理解第一类错误与检验功效。
二、实验原理
卡方统计量 χ² = Σ(O−E)²/E 近似服从 χ²(df) 分布。拟合优度检验：E = n·p，df = k−1；独立性检验：Eij = 行合计×列合计/n，df = (r−1)(c−1)。当 P<α 时拒绝 H₀。
三、实验数据与结果
（记录见上方汇总表，典型结果见下文）
四、结果分析与结论
请先进行仿真实验与数据检验，再刷新本页查看自动生成的典型结果分析。
五、思考与讨论
- 当真实概率存在微小偏差时，为什么样本量越大越容易检验出"不公正"？
- 在 H₀ 为真时，重复检验的拒绝比例是否接近设定的 α？这说明什么？
- 如果某个格子的期望频数小于 5，应如何处理？